Question

已知函數f(x)=(log3

x

27

)(log33x)
（1）若x∈[

1

27

，

1

9

]，求函數f（x）最大值和最小值；
（2）若方程f（x）+m=0有兩根α，β，試求α•β的值．

Answer 1

分析：（1）將f（x）計算化簡得出f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1），令log₃x=t，轉化為二次函數解決．
（2）結合（1）即為方程（log₃x）²-2log₃x-3+m=0的兩解為α，β，得出log₃α+log₃β=2，再求出α•β．

解答：解：（1）根據對數的運算性質得出
f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）
令log₃x=t，t∈[-3，-2]
則g（t）=t²-2t-3，t∈[-3，-2]
g（t）對稱軸t=1

∴fmax(x)=g(-3)=12    fmin(x)=g(-2)=5

（2）即方程（log₃x）²-2log₃x-3+m=0的兩解為α，β
∴l(xiāng)og₃α+log₃β=2

∴l(xiāng)og3α•β=2 ∴α•β=9

點評：本題考查了二次函數的性質，根與系數的關系，對數的運算等知識，換元的思想方法．