Question

在自然條件下，某草原上野兔第n年年初的數量記為x_n,該年的增長量y_n和 x_n與的乘積成正比，比例系數為，其中m是與n無關的常數，且x₁<m，
(1)證明：;
(2)用 x_n表示x_n+1;并證明草原上的野兔總數量恒小于m.

Answer 1

（1）詳見解析；（2），證明用數學歸納法，過程詳見解析．

試題分析：（1）由已知可得y_n是x_n的一個二次函數，利用配方法，注意到就可證明；（2）由已知有該年的增長量，所以第n+1年年初的的數量x_n+1=x_n+y_n,代入即可用 x_n表示x_n+1；證明草原上的野兔總數量恒小于m，即證對一切非零自然數n，都有x_n<m,可考慮用數學歸納法來證明：當n=1時顯然成立；再假設當時，命題成立，則對n=k+1時，由于是x_k的一個二次函數，結合二次函數的性質，可證成立，從而有對一切正整數n，，即是草原上的野兔總數量恒小于m.
試題解析：（1）由題意知 ，配方得： ∵∴當且僅當時，取得最大值，即                                  （5分）
（2）                                                    （8分）
用數列歸納法證明：
當n=1時，由題意知，故命題成立
假設當時，命題成立
是x_k的一個二次函數，有對稱軸，開口向下，由，則，于是在上均有=m
取，即知，∴當時，命題成立，綜上知，對一切正整數n，這就是說該草原上的野兔數量不可能無限增長                                  （13分）