Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當(dāng)直線AB斜率為0時，AB+CD=7．
（1）求橢圓的方程；
（2）求AB+CD的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知，e=

c

a

=

1

2

，CD=7-2a，再由點(c，

7-4c

2

)在橢圓上，能求出橢圓的方程．
（2）當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在時，AB+CD=7；當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），直線CD的方程為y=-

1

k

(x-1)．由此能求出AB+CD=

12(k2+1)

3+4k2

+

12(k2+1)

3k2+4

=

84(k2+1)2

(3+4k2)(3k2+4)

，從而能求出AB+CD的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意知，e=

c

a

=

1

2

，CD=7-2a，
所以a²=4c²，b²=3c²，…2分
因為點(c，

7-4c

2

)在橢圓上，
即

c2

4c2

+

( 7-4c 2 )2

3c2

=1，
解得c=1．
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…6分
（2）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，
由題意知AB+CD=7；…7分
②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
且設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
則直線CD的方程為y=-

1

k

(x-1)．
將直線AB的方程代入橢圓方程中，
并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
所以x1=

4k2-6 k2+1

3+4k2

，x2=

4k2+6 k2+1

3+4k2

，
所以AB=

k2+1

|x1-x2|=

12(k2+1)

3+4k2

．…10分
同理，CD=

12( 1 k2 +1)

3+ 4 k2

=

12(k2+1)

3k2+4

．
所以AB+CD=

12(k2+1)

3+4k2

+

12(k2+1)

3k2+4

=

84(k2+1)2

(3+4k2)(3k2+4)

，…12分
令t=k²+1，則t＞1，3+4k²=4t-1，3k²+4=3t+1，
設(shè)f(t)=

(4t-1)(3t+1)

t2

=-

1

t2

+

1

t

+12=-(

1

t

-

1

2

)2+

49

4

，
因為t＞1，所以

1

t

∈(0，1)，
所以f(t)∈(12，

49

4

]，
所以AB+CD=

84

f(t)

∈[

48

7

，7)．
綜合①與②可知，AB+CD的取值范圍是[

48

7

，7]． …16分．

點評：本題考查橢圓的方程的求法，考查兩條線段和的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．