Question

已知數(shù)列[a_n}滿足：na_n+1=（n+2）a_n+n，（n∈N^*）且a₁=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）ⁿ⁺¹(an)-

1

2

，數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和為T_n，求證：n≥2時(shí)，T_2n-1＜ln2且T_2n＞ln2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）由na_n+1=（n+2）a_n+n，（n∈N^*），得

an+1

(n+1)(n+2)

=

an

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

，（n∈N^*），令cn=

an

n(n+1)

由累加法求出an=n2，n∈N₊
（Ⅱ）易知：bn=(-1)n+1

1

n

，n∈N₊求出T_2n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，T2n-1=T2n+

1

2n

=

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n-1

利用導(dǎo)數(shù)先證不等式x＞0時(shí)，

x

x+1

＜ln(x+1)＜x

解答： 解：（Ⅰ）∵na_n+1=（n+2）a_n+n，（n∈N^*），
∴

an+1

(n+1)(n+2)

=

an

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

，（n∈N^*），
令cn=

an

n(n+1)

得，cn+1=cn+

1

n+1

-

1

n+2

，c1=

1

2

若n≥2，則c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁
=1-

1

n+1

=

n

n+1

當(dāng)n=1時(shí)，c1=

1

2

也滿足上式，故cn=

n

n+1

，n∈N+
所以 an=n2，n∈N₊…（6分）
（Ⅱ）易知：bn=(-1)n+1

1

n

，n∈N₊
T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

-2(

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

)
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

T2n-1=T2n+

1

2n

=

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n-1

…（8分）
先證不等式x＞0時(shí)，

x

x+1

＜ln(x+1)＜x
令f（x）=ln（x+1）-x（x＞0），則f′(x)=-

x

(x+1)2

＜0，(x＞0)
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，即f（x）＜0，
同理：令g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，則g′(x)=

x

(x+1)2

＞0，(x＞0)
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即g（x）＞0，得證．
取x=

1

n

，得

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，所以
T2n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜ln

n+1

n

+ln

n+2

n+1

+…ln

2n

2n-1

=ln2
T2n-1=

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n-1

＞ln

n+1

n

+ln

n+2

n+1

+…ln

2n

2n-1

=ln2  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．