Question

如圖，在圓O：x²+y²=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．設(shè)M為線段PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若圓O在點(diǎn)P處的切線與x軸交于點(diǎn)N，試判斷直線MN與軌跡E的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則P（x，2y）．由點(diǎn)P在圓x2 +y2=4上，能求出點(diǎn)M的軌跡E的方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線PN的斜率不存在時，直線MN與軌跡E相切；當(dāng)直線PN的斜率存在時，設(shè)PN的方程為y=kx+t，由直線PN與圓O相切，得到t²-4k²-4=0，直線MN的方程為y=

1

2

(kx+t)，由

y= 1 2 (kx+t) x2 4 +y2=1

，得（1+k²）x²²-4=0，由此利用根的判別式得到直線MN與軌跡E相切．

解答： 滿分（13分）．
解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則P（x，2y）．
∵點(diǎn)P在圓x2 +y2=4上，∴x2 +(2y)2=4，
∴點(diǎn)M的軌跡E的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）（i） 當(dāng)直線PN的斜率不存在時，
直線MN的方程為x=2或x=-2．與軌跡E相切；
（ii）當(dāng)直線PN的斜率存在時，設(shè)PN的方程為y=kx+t，k≠0，
∵直線PN與圓O相切，∴

|t|

k2+1

=2，即t²-4k²-4=0．…（7分）
又直線MN的斜率等于

k

2

，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-

t

k

，0）．
∴直線MN的方程為y=

k

2

(x+

t

k

)，即y=

1

2

(kx+t)． …（9分）
由

y= 1 2 (kx+t) x2 4 +y2=1

，得（1+k²）x²²-4=0．
∵△=（2kt）²-4（1+k²）（t²-4）
=4k²（t²-4k²-4）=0．
故直線MN與軌跡E相切．
綜上（i）（ii）知，直線MN與軌跡E相切． …（13分）

點(diǎn)評：本小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．