Question

已知直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（3，2），直線l₂經(jīng)過點(diǎn)B，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求直線

l

2

的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₂與直線y=8x的交點(diǎn)為C，求△ABC外接圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（I）由題意算出直線l₁的斜率為

1

3

，根據(jù)l₁⊥l₂算出l₂的斜率為-3，利用點(diǎn)斜式方程列式即可得到

l

2

的方程；
（II）聯(lián)解直線l₂與直線y=8x方程，得到交點(diǎn)為C（1，8），利用向量的數(shù)量積算出△ABC是AC為斜邊的直角三角形，從而得出△ABC外接圓是以AC為直徑的圓．再算出AC中點(diǎn)坐標(biāo)與AC長，即可得到所求外接圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）直線l₁的斜率為k=

2-0

3-(-3)

=

1

3

，
∵l₁⊥l₂，∴l(xiāng)₂的斜率為k1=

-1

k

=-3，
又∵直線l₂經(jīng)過點(diǎn)B（3，2），
∴l(xiāng)₂的方程為y-2=-3（x-3），即3x+y-11=0；
（Ⅱ）聯(lián)解直線l₂與直線y=8x，得x=1，y=8．
∴直線l₂與直線y=8x的交點(diǎn)為C（1，8），
∵

AB

=(6，2)，

BC

=(-2，6)，
∴

AB

•

BC

=0，可得△ABC是AC為斜邊的直角三角形，其外接圓以AC為直徑的圓，
求得AC的中點(diǎn)為（-1，4），AC=

(-3-1)2+(0-8)2

=4

5

，
∴外接圓的圓心為（-1，4），半徑R=2

5

，可得△ABC外接圓的方程為（x+1）²+（y-4）²=20．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和利用向量研究直線垂直等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．