Question

6．已知$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=1（m＞0，n＞0），當(dāng)mn取最小值時(shí)，雙曲線$\frac{x^2}{m^2}$-$\frac{y^2}{mn}$=1的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用基本不等式可得mn≥8，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=4，mn取得最小值8．求出雙曲線方程的a，b，c，由離心率公式計(jì)算即可得到．

解答 解：由m＞0，n＞0，$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=1得：1=$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$≥2$\sqrt{\frac{2}{mn}}$，
可得mn≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=4，mn取得最小值8．
即有雙曲線$\frac{x^2}{m^2}$-$\frac{y^2}{mn}$=1為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，
即有a=2，b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$．
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．