Question

20．設$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是任意的非零向量，且相互不平行，則下面四個命題：
①$（\overrightarrow a•\overrightarrow b）\overrightarrow c-（\overrightarrow c•\overrightarrow a）\overrightarrow b=\overrightarrow 0$；
②$|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|＜|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
③$（\overrightarrow b•\overrightarrow c）\overrightarrow a-（\overrightarrow c•\overrightarrow a）\overrightarrow b$不與$\overrightarrow c$垂直；
④$（3\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-2\overrightarrow b）=9{|{\overrightarrow a}|^2}-4{|{\overrightarrow b}|^2}$．
其中是真命題的為（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①，$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）\overrightarrow{c}$是與$\overrightarrow{c}$共線的向量，$（\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}）\overrightarrow$是與$\overrightarrow$共線的向量；
②，由向量減法的三角形法則，及三角形的兩邊之差小于第三邊可知；
③，[$（\overrightarrow b•\overrightarrow c）\overrightarrow a-（\overrightarrow c•\overrightarrow a）\overrightarrow b$]•$\overrightarrow c$=0，；
④，$（3\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-2\overrightarrow b）=9{|{\overrightarrow a}|^2}-4{|{\overrightarrow b}|^2}$成立；

解答 解：設$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是任意的非零向量，且相互不平行：
對于①，$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）\overrightarrow{c}$是與$\overrightarrow{c}$共線的向量，$（\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}）\overrightarrow$是與$\overrightarrow$共線的向量故$（\overrightarrow a•\overrightarrow b）\overrightarrow c-（\overrightarrow c•\overrightarrow a）\overrightarrow b=\overrightarrow 0$錯；
對于②，由向量減法的三角形法則，及三角形的兩邊之差小于第三邊知$|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|＜|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，正確；
對于③，∵[$（\overrightarrow b•\overrightarrow c）\overrightarrow a-（\overrightarrow c•\overrightarrow a）\overrightarrow b$]•$\overrightarrow c$=0，故錯；
對于④，$（3\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-2\overrightarrow b）=9{|{\overrightarrow a}|^2}-4{|{\overrightarrow b}|^2}$，正確；
故選：D．

點評 本題考查了命題真假的判定，屬于基礎題．