Question

如圖，已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

x2

8

+

y2

b2

=1（b＞0）有一個(gè)內(nèi)含圓x²+y²=

8

3

，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點(diǎn)M，N，且

OM

⊥

ON

（O為原點(diǎn)）．
（1）求b的值；
（2）設(shè)內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點(diǎn)A、B．求證：

OA

⊥

OB

，并求|AB|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，利用

OM

⊥

ON

知|y₁|=

8 3

，即點(diǎn)（

8 3

，

8 3

）在橢圓上，代入橢圓方程，即可求b的值；
（2）分類討論，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，由（1）知

OA

⊥

OB

；當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)l的方程是：y=kx+m，代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，利用韋達(dá)定理證明x₁x₂+y₁y₂=0即可，利用弦長公式，結(jié)合換元、配方法，即可確定|AB|的取值范圍．

解答： （1）解：當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，MN的方程是x=±

8 3

，
設(shè)M（±

8 3

，y₁），N（±

8 3

，-y₁），
由

OM

⊥

ON

知|y₁|=

8 3

，
即點(diǎn)（

8 3

，

8 3

）在橢圓上，代入橢圓方程得b=2．（3分）
（2）證明：當(dāng)l⊥x軸時(shí)，由（1）知

OA

⊥

OB

；
當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)l的方程是：y=kx+m，即kx-y+m=0
則

|m|

1+k2

=

8 3

，即3m²=8（1+k²）（5分）
y=kx+m代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=

32

3

（4k²+1）＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，（7分）
所以x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

3m2-8(1+k2)

1+2k2

=0，即

OA

⊥

OB

．
即橢圓的內(nèi)含圓x²+y²=

8

3

的任意切線l交橢圓于點(diǎn)A、B時(shí)總有

OA

⊥

OB

．（9分）
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，易知|AB|=2

8 3

=

4 6

3

（10分）
當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 6

3

•

(1+k2)(4k2+1) (1+2k2)2

（12分）
設(shè)t=1+2k²∈[1，+∞），

1

t

∈（0，1]
則|AB|=

4 6

3

•

2t2+t-1 2t2

=

4 6

3

•

- 1 2 ( 1 t - 1 2 )2+ 9 8

所以當(dāng)

1

t

=

1

2

即k=±

2

2

時(shí)|AB|取最大值2

3

，
當(dāng)

1

t

=1即k=0時(shí)|AB|取最小值

4 6

3

，
綜上|AB|∈[

4 6

3

，2

3

]．（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查弦長公式，考查韋達(dá)定理，屬于難題．