【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)y=x(2)a≤
【解析】試題分析:
(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解.(2)當x=0時,f(0)=0恒成立;當0<x≤時分離參數(shù)可得在上恒成立,設g(x)=,x∈(0, ],利用導數(shù)可得函數(shù)g(x)的最小值為g()=,故可得a≤,即為所求范圍.
試題解析:
(1)因為f(x)=exsinx-ax2,
所以f(x)=ex(cosx+sinx)-2ax,
故f(0)=1.
又f(0)=0,
故所求切線方程為y= x.
(2)①當x=0時,f(0)=0在區(qū)間上恒成立.
②當0<x≤時,由得在上恒成立.
令g(x)=,x∈(0, ],
則g(x)=.
令G(x)=x(sinx+cosx)-2sinx,x∈(0, ],
則G(x)=(cosx-sinx)(x-1),
故當0<x<時,G(x)<0,G(x)單調遞減;
當<x<1時,G(x)>0,G(x)單調遞增;
當1<x≤時,G(x)<0,G(x)單調遞減,
又G(0)=0,G(1)=cos1-sin1<0,
所以G(x)<0,
所以g(x)<0,
所以g(x)在(0, ]上單調遞減,
所以g(x)≥g()=,
故a≤.
綜上實數(shù)的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取M名學生作為樣本,得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 25 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合計 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高一學生有360人,試估計該校高一學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[15,20)內的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人,請列舉出所有基本事件,并求至多1人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間[20,25)內的概率.
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【題目】已知橢圓,,為橢圓的兩個焦點,為橢圓上任意一點,且,構成等差數(shù)列,過橢圓焦點垂直于長軸的弦長為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)若存在以原點為圓心的圓,使該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點,且,求出該圓的方程.
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【題目】函數(shù)是定義在上的不恒為零的函數(shù),對于任意實數(shù)滿足: ,, 考查下列結論:① ;②為奇函數(shù);③數(shù)列為等差數(shù)列;④數(shù)列為等比數(shù)列.
以上結論正確的是__________.
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【題目】已知函數(shù)滿足如下條件:
①函數(shù)的最小值為,最大值為9;
②且;
③若函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù),則的最大值為2.
試探究并解決如下問題:
(Ⅰ)求,并求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的圖象的對稱軸方程;
(Ⅲ)設是函數(shù)的零點,求的值的集合.
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【題目】已知函數(shù) (其中為自然對數(shù)的底數(shù)),若函數(shù)有4個零點,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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【題目】每年的金秋十月,越野e族阿拉善英雄會在內蒙古自治區(qū)阿拉善盟阿左旗騰格里沙漠舉行,該項目已打造成集沙漠競技運動、汽車文化極致體驗、主題休閑度假為一體的超級汽車文化賽事娛樂綜合體.為了減少對環(huán)境的污染,某環(huán)保部門租用了特制環(huán)保車清潔現(xiàn)場垃圾.通過查閱近5年英雄會參會人數(shù)(萬人)與沙漠中所需環(huán)保車輛數(shù)量(輛),得到如下統(tǒng)計表:
參會人數(shù)(萬人) | 11 | 9 | 8 | 10 | 12 |
所需環(huán)保車輛(輛) | 28 | 23 | 20 | 25 | 29 |
(1)根據(jù)統(tǒng)計表所給5組數(shù)據(jù),求出關于的線性回歸方程.
(2)已知租用的環(huán)保車平均每輛的費用(元)與數(shù)量(輛)的關系為
.主辦方根據(jù)實際參會人數(shù)為所需要投入使用的環(huán)保車,
每輛支付費用6000元,超出實際需要的車輛,主辦方不支付任何費用.預計本次英雄會大約有14萬人參加,根據(jù)(Ⅰ)中求出的線性回歸方程,預測環(huán)保部門在確保清潔任務完成的前提下,應租用多少輛環(huán)保車?獲得的利潤是多少?(注:利潤主辦方支付費用租用車輛的費用).
參考公式:
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