【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:在上為增函數(shù);
(Ⅲ)若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)證明如下;(Ⅲ);
【解析】
試題(Ⅰ)由題可知,當(dāng)時(shí),函數(shù),求曲線在點(diǎn)處的切線方程,則滿足,通過點(diǎn)斜式直線方程,,可求出直線方程;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù),求出導(dǎo)數(shù),令,通過對(duì)求導(dǎo),得到的單調(diào)性為在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),于是函數(shù)在時(shí)取得最小值,因此,故函數(shù)在上為增函數(shù).(Ⅲ)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),.
令,.對(duì)進(jìn)行討論,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為增函數(shù),將端點(diǎn)值代入,得到一正一負(fù),即存在為函數(shù)在區(qū)間上唯一的極小值點(diǎn),當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為增函數(shù),將端點(diǎn)值代入,得到,因此函數(shù)無極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),總有成立,即成立,故函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),所以在區(qū)間上無極值.
試題解析:解:函數(shù)定義域?yàn)?/span>,.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,.
所以.
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是,
即.
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),.
設(shè),則.
令得,或,注意到,所以.
令得,注意到,得.
所以函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
所以函數(shù)在時(shí)取得最小值,且.
所以在上恒大于零.
于是,當(dāng),恒成立.
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為增函數(shù).
(Ⅱ)問另一方法提示:當(dāng)時(shí),.
由于在上成立,即可證明函數(shù)在上為增函數(shù).
(Ⅲ)(Ⅱ).
設(shè),.
(1)當(dāng)時(shí),在上恒成立,
即函數(shù)在上為增函數(shù).
而,,則函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn),使,且在上,,在上,,故為函數(shù)在區(qū)間上唯一的極小值點(diǎn);
(2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),成立,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),又此時(shí),所以函數(shù)在區(qū)間恒成立,即,
故函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù),所以在區(qū)間上無極值;
(3)當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),總有成立,即成立,故函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),所以在區(qū)間上無極值.
綜上所述.
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