Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長半軸長為2，且點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點的直線l交橢圓于A，B兩點，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（O為坐標(biāo)原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C上一點，建立方程，及a=2，求出b，即可求橢圓的方程；
（2）分類討論，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，由數(shù)量積為0，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，解方程求出k，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）由題意知a=2．設(shè)所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1．
又點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓上，可得$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，
b=1．故所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由（1）知a=2，b=1，所以c=$\sqrt{3}$，橢圓右焦點為（$\sqrt{3}$，0）．
①若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為x=$\sqrt{3}$．
直線AB交橢圓于（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$）兩點，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=3-$\frac{1}{4}$≠0，不合題意．
②若直線AB的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$）．
由代入橢圓方程可得，（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0．
由于直線AB過橢圓右焦點，可知△＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
即有y₁y₂=k²（x₁-$\sqrt{3}$）（x₂-$\sqrt{3}$）=k²[x₁x₂-$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+3]=-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{11{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即$\frac{11{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=0，可得k²=$\frac{4}{11}$，即k=±$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
所以直線l方程為y=±$\frac{2\sqrt{11}}{11}$（x-$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查橢圓的相關(guān)知識，考查運算能力、分析問題解決問題的能力，屬于較難題．