【題目】設函數(shù) 且f(x)的最小值為0.
(1)求a的值;
(2)若數(shù)列滿足a1=1,an+l=f(an)+2(n∈Z+),記Sn=[a1]+[a2]+…+[an],[m]表示不超過實數(shù)m的最大整數(shù),求Sn.
【答案】(1) 當a=1時,f(x)取得最小值0. (2) Sn=2n-1
【解析】
(1)(x>0).
當a≤0時,>0,則f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,無最小值,不符合題意.
當a>0時,若0<x<a,則<0;
若x>a,則>0.
所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,a)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
故f(x)min=f(a)=ln a-a+1.
設g(a)=ln a-a+1(a>0).則.
若0<a<1,則>0;
若a>1,則<0.
所以,函數(shù)g(a)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.
故g(a)≤g(1)=0.
當且僅當a=1時,上式等號成立.
從而,當a=1時,f(x)取得最小值0.
(2)由(1)知
.
則an+1=f(an)+2=lnan++1.
由a1=1,得a2=2.
從而,a3=ln2+.
因為<ln2<1,所以,2<a3<3.
下面用數(shù)學歸納法證明:當n≥3時,2<an<3.
當n=3時,結論已成立.
假設n=k(k≥3)時,2<ak<3.
當n=k+1時,有.
由(1)知
h(x)=f(x)+2=lnx++1
在區(qū)間(2,3)內(nèi)單調(diào)遞增.
所以,h(2)<h(ak)<h(3),即
由ln2>,ln3<2<h(ak)<32<ak+1<3,
即當n=k+1時,結論也成立.
由歸納假設,知對一切整數(shù)n≥3,均有2<an<3.
于是,[a1]=1,[an]=2(n≥2).
故Sn=[ a1]+[a2]+…+[an] =1+2(n-1)-2n-1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】恩格爾系數(shù)(記為)是指居民的食物支出占家庭消費總支出的比重.國際上常用恩格爾系數(shù)來衡量一個國家和地區(qū)人民生活水平的狀況.聯(lián)合國對消費水平的規(guī)定標準如下表:
家庭類型 | 貧窮 | 溫飽 | 小康 | 富裕 | 最富裕 |
實施精準扶貧以來,根據(jù)對某山區(qū)貧困家庭消費支出情況(單位:萬元)的抽樣調(diào)查,2018年每個家庭平均消費支出總額為2萬元,其中食物消費支出為1.2萬元預測2018年到2020年每個家庭平均消費支出總額每年的增長率約是30%,而食物消費支出平均每年增加0.2萬元,預測該山區(qū)的家庭2020年將處于( )
A.貧困水平B.溫飽水平C.小康水平D.富裕水平
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果,他證明過這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中,設A(﹣3,0),B(3,0),動點M滿足=2,則動點M的軌跡方程為()
A. (x﹣5)2+y2=16B. x2+(y﹣5)2=9
C. (x+5)2+y2=16D. x2+(y+5)2=9
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,F1、F2為雙曲線C:的左、右焦點,動點P(x0,y0)(y0≥1)在雙曲線C的右支上.設∠F1PF2的平分線與x軸、y軸分別交于點M(m,0)、N.
(1)求m的取值范圍;
(2)設過點F1、N的直線l與雙曲線C交于D、E兩點,求△F2DE面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l1:kx-y+4=0與直線l2:x+ky-3=0相交于點P,則當實數(shù)k變化時,點P到直線4x-3y+10=0的距離的最大值為( 。
A.2B.C.D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)設曲線在原點處切線與直線垂直,則a=______.
(2)已知等差數(shù)列中,已知,則=________________.
(3)若函數(shù),則__________.
(4)曲線與直線及軸圍成的圖形的面積為__________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
Ⅰ若函數(shù)的最大值為3,求實數(shù)的值;
Ⅱ若當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
Ⅲ若,是函數(shù)的兩個零點,且,求證:.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術》中盈不足章中有這樣一則故事:“今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊. 齊去長安三千里. 良馬初日行一百九十三里,日增一十二里;駑馬初日行九十七里,日減二里.” 為了計算每天良馬和駑馬所走的路程之和,設計框圖如下圖. 若輸出的 的值為 350,則判斷框中可填( )
A. B.
C. D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com