Question

已知函數(shù)f(x)=

-1

x-1

（1）求證函數(shù)f（x）在（2，4）上為增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[2，4]上的最大值和最小值，并求出值域．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；
（2）由（1）知f（x）的單調(diào)性，據(jù)單調(diào)性即可求得函數(shù)最大值、最小值，進而得到其值域；

解答：解：（1）設(shè)x₁，x₂∈（2，4），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

-1

x1-1

-

-1

x2-1

=

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

，
因為x₁，x₂∈（2，4），且x₁＜x₂，
所以x₁-x₂0，x₂-1＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）為增函數(shù)．
（2）由（1）知：f（x）為[2，4]上的增函數(shù)，
所以f（x）的最大值為f_max=f（4）=-

1

3

；f（x）的最小值為f_min（x）=f（2）=-1．
所以f（x）的值域為[-1，-

1

3

]．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明及其應(yīng)用，考查函數(shù)最值的求法，證明單調(diào)性常用的方法：①用定義；②用導(dǎo)數(shù)．