Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ （ω＞0）的最小正周期為π． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，可得

f（x）= = ．

∵函數(shù)的最小正周期為π，∴ =π，解之得ω=1．

由此可得函數(shù)的解析式為 ．

令 ，解之得

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是 ．

（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，可得函數(shù)y=f（x+ ）+1的圖象，

∵

∴g（x）= +1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式為g（x）=2sin2x+1．

令g（x）=0，得sin2x=﹣ ，可得2x= 或2x=

解之得 或 ．

∴函數(shù)g（x）在每個(gè)周期上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

若y=g（x）在[0，b]上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，

即b的最小值為 ．

【解析】（I）根據(jù)二倍角的三角函數(shù)公式與輔助角公式化簡(jiǎn)得 ，利用周期公式算出ω=1，得函數(shù)解析式為 ．再由正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式，解關(guān)于x的不等式即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（II）根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，得出函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=﹣ ，利用正弦函數(shù)的圖象解出 或 ，可見(jiàn)g（x）在每個(gè)周期上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，若g（x）在[0，b]上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，則b大于或等于g（x）在原點(diǎn)右側(cè)的第10個(gè)零點(diǎn)，由此即可算出b的最小值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性，掌握兩角和與差的正弦公式：；正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)即可以解答此題．