已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-n，n∈N*
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求證：
n-1
2
＜
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
2
．
考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由已知條件推導出{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的通項公式．
（2）由
an
an+1
=
2n-1
2n+1-1
=
2n-1
2(2n-
1
2
)
＜
1
2
，得到
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
2
．由
an
an+1
=
1
2
-
1
2•2n+1-2
＞
1
2
-
1
2n+1
，得到
n-1
2
＜
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
，由此能證明
n-1
2
＜
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
2
．
解答： （本小題滿分12分）
（1）解：∵Sn=2an-n，…①
∴a1=2a1-1，解得a1=1…．（1分）
且Sn-1=2an-1-（n-1）…②
①-②得an=2an-1+1…．（2分）
∴an+1=2（an-1+1），n≥2，
∴{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列…．（3分），
∴an=2n-1．…．（4分）
（2）證明：∵
an
an+1
=
2n-1
2n+1-1
=
2n-1
2(2n-
1
2
)
＜
1
2
…．（6分）
∴
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
2
．…．（8分）
∵
an
an+1
=
2n-1
2n+1-1
=
2n-1
2(2n-
1
2
)
=
1
2
(1-
1
2n+1-1
)=
1
2
-
1
2•2n+1-2

=
1
2
-
1
2n+1+2n+1-2
＞
1
2
-
1
2n+1
．…．（10分）
∴
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＞
n
2
-(
1
22
+
1
23
+…+
1
2n+1
)=
n
2
-
1
2
(1-
1
2n
)＞
n-1
2
，
∴
n-1
2
＜
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＜
n
2
…．（12分）
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意放縮法和裂項法的合理運用．
練習冊系列答案
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已知a為實數(shù)，f（x）=（x2-4）（x-a）．
（1）若f′（-1）=0，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（2）若函數(shù)f（x）在[
4
3
，+∞)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（x-
π
6
）sin（x+
π
3
），
π
6
≤x≤
5π
12
．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）=
2
2
3
，求f（
x
2
+
π
4
）的值．

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求拋物線f（x）=1+x2與直線x=0，x=1，y=0所圍成的平面圖形的面積S．

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直線L經(jīng)過點P（1，2），且被兩直線L1：3x-y+2=0和 L2：x-2y+1=0截得的線段AB中點恰好是點P，求直線L的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sin（2α-β）=
3
5
，sinβ=-
12
13
，且α∈（
π
2
，π），β∈（-
π
2
，0），求sin2α的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）a=1時，函數(shù)f（x）有三個互不相同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．

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在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F(xiàn)，G，分別是線段PC，PD，DA的中點，現(xiàn)將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD
（1）求證：平面PAB∥平面EFG．
（2）求證：AD⊥PC．
（3）求二面角G-EF-D的平面角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式
x-1
x+2
≤0的解集為
 
．

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