Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n，n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

n-1

2

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

=

2n-1

2(2n- 1 2 )

＜

1

2

，得到

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．由

an

an+1

=

1

2

-

1

2•2n+1-2

＞

1

2

-

1

2n+1

，得到

n-1

2

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

，由此能證明

n-1

2

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．

解答： （本小題滿分12分）
（1）解：∵S_n=2a_n-n，…①
∴a₁=2a₁-1，解得a₁=1…．（1分）
且S_n-1=2a_n-1-（n-1）…②
①-②得a_n=2a_n-1+1…．（2分）
∴a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
∴{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列…．（3分），
∴an=2n-1．…．（4分）
（2）證明：∵

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

=

2n-1

2(2n- 1 2 )

＜

1

2

…．（6分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．…．（8分）
∵

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

=

2n-1

2(2n- 1 2 )

=

1

2

(1-

1

2n+1-1

)=

1

2

-

1

2•2n+1-2

=

1

2

-

1

2n+1+2n+1-2

＞

1

2

-

1

2n+1

．…．（10分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

2

-(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

)=

n

2

-

1

2

(1-

1

2n

)＞

n-1

2

，
∴

n-1

2

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

…．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法和裂項(xiàng)法的合理運(yùn)用．