Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對于任意n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且，求證：對任意實(shí)數(shù)x∈（1，e]（e是常數(shù)，e=2.71828…）和任意正整數(shù)n，總有T_n＜2；
（3）正數(shù)數(shù)列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，整理得a_n-a_n-1=1進(jìn)而可判斷出數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．
（2）把（1）中求得的a_n代入求得的b_n通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法可證明原式．
（3）由的a_n代通項(xiàng)公式可分別求得c₁，c₂，c₃，c₄，猜想n≥2時(shí)，{c_n}是遞減數(shù)列令，進(jìn)而進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)n≥3時(shí)，f′（x）＜0，判斷出在[3，+∞）內(nèi)，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，n≥2時(shí)，{lnc_n}是遞減數(shù)列，即{c_n}是遞減數(shù)列，同時(shí)c₁＜c₂，進(jìn)而可知數(shù)列的最大項(xiàng)為c₂．
解答：解：（1）由已知，對于任意n∈N^*，總有2S_n=a_n+a_n²①成立
所以2S_n-1=a_n-1+a_n-1²②
①-②得，2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列
又n=1時(shí)，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1∴a_n=n（n∈N^*）
（2）證明：∵對任意實(shí)數(shù)x∈（1，e]（e是常數(shù)，e=2.71828）和任意正整數(shù)n，
總有，
∴=
（3）由已知，，
易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞
猜想n≥2時(shí)，{c_n}是遞減數(shù)列
令
則，
∵當(dāng)x≥3時(shí)，lnx＞1，則1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）內(nèi)，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，
由a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），知
∴n≥2時(shí)，{lnc_n}是遞減數(shù)列，即{c_n}是遞減數(shù)列，
又c₁＜c₂，
∴數(shù)列{c_n}中的最大項(xiàng)為．
點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力．