【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M: (a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y﹣ =0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為
(1)求M的方程
(2)C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.

【答案】
(1)解:把右焦點(diǎn)(c,0)代入直線x+y﹣ =0得c+0﹣ =0,解得c=

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)P(x0,y0),

, ,相減得 ,

,

,又 = ,

,即a2=2b2

聯(lián)立得 ,解得 ,

∴M的方程為


(2)解:∵CD⊥AB,∴可設(shè)直線CD的方程為y=x+t,

聯(lián)立 ,消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0,

∵直線CD與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

∴△=16t2﹣12(2t2﹣6)=72﹣8t2>0,解﹣3<t<3(*).

設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),∴ ,

∴|CD|= = =

聯(lián)立 得到3x2﹣4 x=0,解得x=0或 ,

∴交點(diǎn)為A(0, ),B

∴|AB|= =

∴S四邊形ACBD= = =

∴當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí),四邊形ACBD面積的最大值為 ,滿足(*).

∴四邊形ACBD面積的最大值為


【解析】(1)把右焦點(diǎn)(c,0)代入直線可解得c.設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),線段AB的中點(diǎn)P(x0 , y0),利用“點(diǎn)差法”即可得到a,b的關(guān)系式,再與a2=b2+c2聯(lián)立即可得到a,b,c.(2)由CD⊥AB,可設(shè)直線CD的方程為y=x+t,與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,即可得到弦長(zhǎng)|CD|.把直線x+y﹣ =0與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,即可得到弦長(zhǎng)|AB|,利用S四邊形ACBD= 即可得到關(guān)于t的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到其最大值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求a與b的值;
(2)公司準(zhǔn)備對(duì)該公司參加A,B,C三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)標(biāo)團(tuán)隊(duì)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),A項(xiàng)目競(jìng)標(biāo)成功獎(jiǎng)勵(lì)2萬元,B項(xiàng)目競(jìng)標(biāo)成功獎(jiǎng)勵(lì)4萬元,C項(xiàng)目競(jìng)標(biāo)成功獎(jiǎng)勵(lì)6萬元,求競(jìng)標(biāo)團(tuán)隊(duì)獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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【題目】有關(guān)部門要了解甲型H1N1流感預(yù)防知識(shí)在學(xué)校的普及情況,命制了一份有10道題的問卷到各個(gè)學(xué)校做問卷調(diào)查。某中學(xué)A,B兩個(gè)班各被隨機(jī)抽取5名學(xué)生接受問卷調(diào)查,A班5名學(xué)生得分分別為;5, 8, 9, 9, 9:B班5名學(xué)生的得分分別為;6, 7, 8, 9, 10。

(1)請(qǐng)你分析A,B兩個(gè)班中哪個(gè)班的問卷得分要穩(wěn)定些;

(2)如果把B班5名學(xué)生的得分看成一個(gè)總體,并用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從中抽取容量為2的樣本,求樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不小于1的概率。

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【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中,,分別是的中點(diǎn).

)求異面直線所成角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)

(1)求函數(shù)的最小正周期;

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(1)求圖中的值

(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生語文成績(jī)的平均分;

(3)若這100名學(xué)生的語文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()之比如下表所示,求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>之外的人數(shù).

分?jǐn)?shù)段

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