【題目】已知的三個頂點均在拋物線上，給出下列命題：

①若直線過點，則存在使拋物線的焦點恰為的重心；

②若直線過點，則存在點使為直角三角形；

③存在，使拋物線的焦點恰為的外心；

④若邊的中線軸，，則的面積為.

其中正確的序號為______________．

【答案】①②.

【解析】

對于①設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理，求出坐標(biāo)和，再利用重心坐標(biāo)公式，求出點坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可得出結(jié)論；

對于②當(dāng)直線過點，可證，即可得出結(jié)論為正確；

對于③判斷以焦點為圓心的圓與拋物線是否有三個交點；

對于④設(shè)方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理，求出中點坐標(biāo)，然后轉(zhuǎn)化為點坐標(biāo)，將點坐標(biāo)代入拋物線方程，求出的面積，即可判斷結(jié)論是否正確.

設(shè)三點坐標(biāo)分別為，

①直線過點，設(shè)方程為，

聯(lián)立，消去，得，

，

拋物線的焦點恰為的重心，

，

將點坐標(biāo)代入拋物線方程，

當(dāng)時，，①正確；

②直線過點，設(shè)方程為，

聯(lián)立消去得，，

，

，而點在拋物線上，故②正確；

③設(shè)以拋物線焦點為圓心的圓半徑為，

其方程為，與拋物線方程聯(lián)立得

，

方程至多只有一個非負(fù)解，即圓與拋物線至多只有兩個交點，

不存在，使拋物線的焦點恰為的外心；③不正確；

④的方程為，代入拋物線方程得，

，

設(shè)中點，軸，，

，代入拋物線方程得

，

.

④不正確.

故答案為:①②.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體中，正方形所在平面垂直于平面，四邊形為平行四邊形，為上一點，且平面，.

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求直線與平面所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，若、、是的三條邊長，則下列結(jié)論：①對于一切都有；②存在使、、不能構(gòu)成一個三角形的三邊長；③為鈍角三角形，存在，使，其中正確的個數(shù)為______個

A. 3B. 2C. 1D. 0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，為正三角形，為棱的中點，，，平面平面

（1）求證：平面平面；

（2）若是棱上一點，與平面所成角的正弦值為，求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙三家企業(yè)產(chǎn)品的成本分別為10000，12000，15000，其成本構(gòu)成如下圖所示，則關(guān)于這三家企業(yè)下列說法錯誤的是（ ）

A.成本最大的企業(yè)是丙企業(yè)B.費用支出最高的企業(yè)是丙企業(yè)

C.支付工資最少的企業(yè)是乙企業(yè)D.材料成本最高的企業(yè)是丙企業(yè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線的一部分，它的方程是,在凹槽內(nèi)放入一個清潔鋼球(規(guī)則的球體)，要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市有東、西、南、北四個進入城區(qū)主干道的入口，在早高峰時間段，時常發(fā)生交通擁堵，交警部門記錄了11月份30天內(nèi)的擁堵情況（如下表所示，其中●表示擁堵，○表示通暢）.假設(shè)每個人口是否發(fā)生擁堵相互獨立，將各入口在這30天內(nèi)擁堵的頻率代替各入口每天擁堵的概率.

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東入口

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西入口

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南入口

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北入口

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東入口

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西入口

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南入口

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北入口

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（1）分別求該城市一天中早高峰時間段這四個主干道的入口發(fā)生擁堵的概率.

（2）各人口一旦出現(xiàn)擁堵就需要交通協(xié)管員來疏通，聘請交通協(xié)管員有以下兩種方案可供選擇.方案一：四個主干道入口在早高峰時間段每天各聘請一位交通協(xié)管員，聘請每位交通協(xié)管員的日費用為（，且）元.方案二：在早高峰時間段若某主干道入口發(fā)生擁堵，交警部門則需臨時調(diào)派兩位交通協(xié)管員協(xié)助疏通交通，調(diào)派后當(dāng)日需給每位交通協(xié)管員的費用為200元.以四個主干道入口聘請交通協(xié)管員的日總費用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，你認(rèn)為在這兩個方案中應(yīng)該如何選擇？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，點

（1）求點與拋物線的焦點的距離；

（2）設(shè)斜率為的直線與拋物線交于兩點，若的面積為，求直線的方程；

（3）是否存在定圓，使得過曲線上任意一點作圓的兩條切線，與曲線交于另外兩點時，總有直線也與圓相切？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】國家每年都會對中小學(xué)生進行體質(zhì)健康監(jiān)測，一分鐘跳繩是監(jiān)測的項目之一.今年某小學(xué)對本校六年級300名學(xué)生的一分鐘跳繩情況做了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)一分鐘跳繩個數(shù)最低為10，最高為189.現(xiàn)將跳繩個數(shù)分成，，，，，6組，并繪制出如下的頻率分布直方圖.

（1）若一分鐘跳繩個數(shù)達到160為優(yōu)秀，求該校六年級學(xué)生一分鐘跳繩為優(yōu)秀的人數(shù)；

（2）上級部門要對該校體質(zhì)監(jiān)測情況進行復(fù)查，發(fā)現(xiàn)每組男、女學(xué)生人數(shù)比例有很大差別，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為.試估計此校六年級男生一分鐘跳繩個數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果保留整數(shù)）.

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