Question

【題目】如圖所示的幾何體中，正方形所在平面垂直于平面，四邊形為平行四邊形，為上一點(diǎn)，且平面，.

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）易證平面，進(jìn)而可得，由平面，得，從此即可得證；

（2）由等體積法分析得當(dāng)最大時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)，

（1）因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

四邊形為正方形，即，平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以，

因?yàn)?/span>，平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面．

（2），

求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值．

令，，

由（1）知，，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，

即時(shí)，，

因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，所以，

因?yàn)?/span>平面，

所以直線與平面所成角的正切值為．