Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，an=

Sn

n

+n-1(n∈N*)
（1）求證：數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）經(jīng)過變形利用“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”即可得出．
（2）利用（1）的結(jié)論和等差數(shù)列的通項公式及其“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵an=

Sn

n

+n-1(n∈N*)，
∴na_n=S_n+n（n-1），
∴當n≥2時，n（S_n-S_n-1）=S_n+n（n-1），
化為（n-1）S_n-nS_n-1=n（n-1），
∴

Sn

n

-

Sn-1

n-1

=1，
∴數(shù)列{

Sn

n

}為等差數(shù)列；  
（2）由（1）得：

Sn

n

=1+(n-1)×1=n，
∴Sn=n2．
∴a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1（n≥2）．
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點評：本題考查了利用“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”進行轉(zhuǎn)化的能力、等差數(shù)列的通項公式及其“裂項求和”的方法．