Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a₄=15，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求a₁、a₂、a₃的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）若b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足a₄=15，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），分別令n=3，2，1，解出即可．
（2）由a_n+1=2a_n+1，變形為a_n+1+1=2（a_n+1），即可證明，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（3）b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₄=15，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
令n=3，則a₄=2a₃+1=15，解得a₃=7，
同理可得a₂=3，a₁=1．∴a₁=1，a₂=3，a₃=7．
（2）證明：∵a_n+1=2a_n+1，變形為a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，∴a_n=2ⁿ-1．
（3）解：b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．