Question

18．設(shè)關(guān)于x的方程x²-ax-1=0和x²-x-2a=0的實(shí)根分別為x₁、x₂和x₃、x₄，若x₁＜x₃＜x₂＜x₄，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（0，\frac{3-\sqrt{3}}{2}）$．

Answer 1

分析 由x²-ax-1=0得ax=x²-1，由x²-x-2a=0得2a=x²-x，構(gòu)造函數(shù)y=x²-x和y=2x-$\frac{2}{x}$，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)得圖象，并求出x²-x=2x-$\frac{2}{x}$的解即兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合條件和函數(shù)的圖象求出a的取值范圍．

解答 解：由x²-x-2a=0得2a=x²-x，
由x²-ax-1=0（x≠0）得ax=x²-1，則2a=2x-$\frac{2}{x}$，
作出函數(shù)y=x²-x和y=2x-$\frac{2}{x}$的函數(shù)圖象如下圖：
由x²-x=2x-$\frac{2}{x}$得，x²-3x+$\frac{2}{x}$=0，則$\frac{{x}^{3}-3{x}^{2}+2}{x}$=0，
∴$\frac{{（x-1）（x}^{2}-2x-2）}{x}$=0，
解得x=1或x=1$+\sqrt{3}$或x=$1-\sqrt{3}$，
∵x₁＜x₃＜x₂＜x₄，且當(dāng)x=$1-\sqrt{3}$時(shí)，可得a=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∴由圖可得，0＜a＜$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$（0，\frac{3-\sqrt{3}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化，以及構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．