Question

已知函數(shù)f（x）=e^x
（Ⅰ）當x＞0時，設g（x）=f（x）-（a+1）x（a∈R）．討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明當x∈[

1

2

，1]時，f（x）＜x²+x+1．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）利用導數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和對a分類討論即可得出；
（II）設h（x）=f（x）-（x²+x+1），利用導數(shù)研究其單調(diào)性，只有證明h（x）_max＜0即可．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）=e^x-（a+1）x，g′（x）=e^x-（a+1）．
當x＞0時，e^x＞1，故有：
當a+1≤1，即a≤0時，∵x＞0，∴g′（x）≥0；
當a+1＞1，即a＞0時，由e^x=a+1，解得x=ln（1=a+1）．
令g′（x）＞0，得x＞ln（a+1）；令g′（x）＜0，得0＜x＜ln（a+1），
綜上，當a≤0時，g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＞0時，g（x）在（0，ln（a+1））上是減函數(shù)，在（ln（a+1），+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-（x²+x+1），則h′（x）=e^x-2x-1，
令m（x）=e^x-2x-1，則m′（x）=e^x-2，
∵x∈[

1

2

，1]，∴當x∈[

1

2

，ln2)時，m′（x）＜0，m（x）在[

1

2

，ln2)上是減函數(shù)；
當x∈（ln2，1]時，m′（x）＞0，m（x）在（ln2，1]上是增函數(shù)．
又m(

1

2

)=

e

-2＜0，m（1）=e-3＜0，∴當x∈[

1

2

，1]時，恒有m（x）＜0，即h′（x）＜0．
∴h（x）在[

1

2

，1]上為減函數(shù)，即當x∈[

1

2

，1]，h(x)≤h(

1

2

)=

e

-

7

4

＜0．
∴f（x）＜x²+x+1．

點評：本題考查了導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．