Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，若0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，且sinβ=-$\frac{5}{13}$，求sinα．

Answer 1

分析 由條件|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求得cos（α-β）的值，可得sin（α-β）的值；再根據(jù)sinβ=-$\frac{5}{13}$，求得cosβ 的值，從而利用兩角和的正弦公式求得sinα=sin[（α-β）+β]的值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{{（cosα-cosβ）}^{2}{+（sinα-sinβ）}^{2}}$=$\sqrt{2-2cos（α-β）}$，
∴cos（α-β）=$\frac{3}{5}$．
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，且sinβ=-$\frac{5}{13}$，∴cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$，α-β∈0，π），∴sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}×（-\frac{5}{13}）$=$\frac{33}{65}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的三角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．