Question

1．已知函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1（{x∈R}）$）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若$f（{x_0}）=\frac{6}{5}，{x_0}∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）由（1）確定出的解析式，以及f（x₀）=$\frac{6}{5}$，求出sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值，進(jìn)而求出cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值，原式中的角度變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答 解：（1）由f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1，
得f（x）=$\sqrt{3}$（2sinxcosx）+（2cos²x-1）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵ω=2，∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（2）由（1）可知f（x₀）=2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$），
∵f（x₀）=$\frac{6}{5}$，∴sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
由x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，得2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{4}{5}$，
則cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評 此題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，熟練掌握公式及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．