Question

設函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=2，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）如果?x∈R，f（x）≥3，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）通過a=2，去掉絕對值符號，直接解不等式f（x）≥5即可；
（Ⅱ）?x∈R，f（x）≥3，討論a=-1，以及比-1大或小，轉化不等式即可求a的取值范圍．

解答： 解：（ I）a=2，f（x）=|x+1|+|x-2|．
不等式f（x）≥5即為|x+1|+|x-2|≥5，
等價于

x＜-1 -x-1+2-x≥5

⇒

x＜-1 x≤-2

⇒x≤-2；
或

-1≤x≤2 x+1+2-x≥5

⇒

-1≤x≤2 3≥5

⇒x∈∅；
或

x＞2 x+1+x-2≥5

⇒

x＞2 x≥3

⇒x≥3．
綜上，不等式的解集為{x|x≤-2或x≥3}…（5分）
（II）若a=-1，f（x）=2|x+1|，不滿足題設條件．
若a＜-1，f(x)=

-2x+a-1 ，  x≤a -1-a ， a＜x＜-1 2x+1-a ，x≥-1

 ，f(x)的最小值為-1-a；
若a＞-1，f(x)=

-2x+a-1 ，  x≤-1 1+a ， -1＜x＜a 2x+1-a ，x≥a

 ，f(x)的最小值為1+a．
∴?x∈R，f（x）≥3的充要條件是|a+1|≥3，從而a的取值范圍是（-∞，-4]∪[2，+∞）．（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，轉化思想的應用，考查計算能力．