Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，若對(duì)任意的x∈R，不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出分段函數(shù)的最大值，把不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立轉(zhuǎn)化為m²-

3

4

m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，
當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-x2+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=log

1

3

x＜0．
∴要使不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立，
則m2-

3

4

m≥

1

4

恒成立，即m≤-

1

4

或m≥1．
故答案為：m≤-

1

4

或m≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問(wèn)題，訓(xùn)練了分段函數(shù)的最值的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．