【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求證：.

【答案】（1）； （2）見解析

【解析】

（1）代入,可得的解析式.求得導函數(shù),即可得直線方程的斜率,求得點坐標后,由點斜式即可求得切線方程.

（2）根據(jù)放縮法,由得.從而證明即可.構造函數(shù),通過求得導函數(shù),再令,求得.即可判斷的單調(diào)性,進而求得的零點所在區(qū)間,并判斷出該零點為的極小值點,求得在該點的最小值,即證明不等式成立.

（1）當時,

所以

所以,又因為,即點坐標為

所以曲線在點處的切線方程為

即

（2）證明：當時,,

要證明,只需證明,

設,則,

設,則,

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,

因為,,

所以函數(shù)在上有唯一零點,且,

因為,所以,即,

當時,；當時,,

所以當時,取得最小值,

故,

綜上可知,若,.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）＝x﹣x2+3lnx．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅱ）證明：曲線y＝f（x）在直線y＝2x﹣2的下方(除點外)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，其中a為常數(shù)：e≈2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）求曲線y＝f（x）在x＝0處的切線l在兩坐標軸上的截距相等，求a的值；

（2）若x＞0，不等式恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，點是的中點．

（1）求證：平面PAD；

（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知和個實數(shù)若有窮數(shù)列由數(shù)列的項重新排列而成,且下列條件同時成立：① 個數(shù)兩兩不同；②當時，都成立，則稱為的一個“友數(shù)列”.

(1)若寫出的全部“友數(shù)列”；

(2)已知是通項公式為的數(shù)列的一個“友數(shù)列”，且求(用表示)；

(3)設求所有使得通項公式為的數(shù)列不能成為任何數(shù)列的“友數(shù)列”的正實數(shù)的個數(shù)(用表示).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知三棱錐內(nèi)接于球O，平面ABC，為等邊三角形，且邊長，球的表面積為，則直線PC與平面PAB所成的角的正弦值為

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）求的極值；

（2）若時，與的單調(diào)性相同，求的取值范圍；

（3）當時，函數(shù)，有最小值，記的最小值為，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設命題函數(shù)的值域為；命題，不等式恒成立，如果命題“”為真命題，且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，沿河有、兩城鎮(zhèn)，它們相距20千米，以前，兩城鎮(zhèn)的污水直接排入河里，現(xiàn)為保護環(huán)境，污水需經(jīng)處理才能排放，兩城鎮(zhèn)可以單獨建污水處理廠，或者聯(lián)合建污水處理廠（在兩城鎮(zhèn)之間或其中一城鎮(zhèn)建廠，用管道將污水從各城鎮(zhèn)向污水處理廠輸送），依據(jù)經(jīng)驗公式，建廠的費用為（萬元），表示污水流量，鋪設管道的費用（包括管道費）（萬元），表示輸送污水管道的長度（千米）．已知城鎮(zhèn)和城鎮(zhèn)的污水流量分別為，，、兩城鎮(zhèn)連接污水處理廠的管道總長為20千米；假定：經(jīng)管道運輸?shù)奈鬯髁坎话l(fā)生改變，污水經(jīng)處理后直接排入河中；請解答下列問題：

（1）若在城鎮(zhèn)和城鎮(zhèn)單獨建廠，共需多少總費用?

（2）考慮聯(lián)合建廠可能節(jié)約總投資，設城鎮(zhèn)到擬建廠的距離為千米，求聯(lián)合建廠的總費用與的函數(shù)關系式，并求的取值范圍．

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