【題目】設函數(shù)f(x)=﹣2cosx﹣x+(x+1)ln(x+1),g(x)=k(x2+ ).其中k≠0.
(1)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在x1∈(﹣1,1],對任意x2∈( ,2],使得f(x1)﹣g(x2)<k﹣6成立,求k的取值范圍.

【答案】
(1)解:g′(x)=2kx﹣ = ,

當k>0時,令g′(x)>0,得x>1,∴g(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞).

令g′(x)<0,得x<1,x≠0,∴g(x)的遞減區(qū)間為(﹣∞,0),(0,1).

k<0時,同理得g(x)的遞增區(qū)間為(﹣∞,0),(0,1);遞減區(qū)間為(1,+∞)


(2)解:f′(x)=2sinx﹣1+ln(x+1)+1=2sinx+ln(x+1),

∵當x∈(﹣1,1]時,y=2sinx及y=ln(x+1)均為增函數(shù),

∴f′(x)在(﹣1,1]為增函數(shù),又f′(0)=0,

∴當x∈(﹣1,0)時,f′(x)<0;當x∈(0,1]時,f′(x)>0,

從而,f(x)在(﹣1,0)上遞減,在(0,1]上遞增,

∴f(x)在(﹣1,1]上的最小值為f(0)=﹣2.

∵f(x1)﹣g(x2)<k﹣6,∴f(x1)<k﹣6+g(x2),

∴f(x)min<k﹣6+g(x)min,當k>0時,∴g(x)min=g(1)=3k,

∴4k﹣6>﹣2,∴k>1,

當k<0時,g(x)min=g(2)=5k,∴6k﹣6>﹣2,∴k> ,

又k<0,∴k<0時不合題意.

綜上,k∈(1,+∞).


【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論k的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)求出函數(shù)的導數(shù),問題轉(zhuǎn)化為f(x)min<k﹣6+g(x)min , 通過討論k的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,確定k的具體范圍即可.
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

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A.﹣5
B.﹣4
C.﹣3
D.﹣2

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學生編號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

入學成績x(分)

63

67

45

88

81

71

52

99

58

76

高一期末

成績y(分)

65

78

52

82

92

89

73

98

56

75

(1)求相關(guān)系數(shù)r;

(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程;

(3)若某學生入學時的數(shù)學成績?yōu)?0分,試估計他高一期末的數(shù)學成績.

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(1)求證:a+c=2b;
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