Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃=8，a₉=2a₄，S_n是等比數(shù)列{b_n}的前n項和，其中S₃=

26

27

，S₆=

728

729

．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n，b_n；
（2）設(shè)c_n=

an

bn

，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，由此能出a_n=2n+2．利用等比數(shù)列的前n項和公式求出等比數(shù)列的首項和公比，由此能求出b_n=2•（

1

3

）ⁿ．
（2）c_n=

an

bn

=

2n+2

2•( 1 3 )n

=（n+1）•3ⁿ．由此利用錯位相減法能示出{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₃=8，a₉=2a₄，
∴

a1+2d=8 a1+8d=2(a1+3d)

，解得a₁=4，d=2，
∴a_n=4+（n-1）×2=2n+2．
∵S_n是等比數(shù)列{b_n}的前n項和，其中S₃=

26

27

，S₆=

728

729

，
∴

a1(1-q3) 1-q = 26 27 a1(1-q6) 1-q = 728 729

，解得q=

1

3

，a1=

2

3

，
∴b_n=

2

3

×(

1

3

)n-1=2•（

1

3

）ⁿ．
（2）c_n=

an

bn

=

2n+2

2•( 1 3 )n

=（n+1）•3ⁿ．
T_n=2×3+3×3²+4×3³+…+（n+1）×3ⁿ，①
3Tn=2×32+3×33+4×34+…+(n+1)×3n+1，②
①-②，得：-2T_n=6+3²+3³+…+3ⁿ-（n+1）×3ⁿ⁺¹
=6+

9(1-3n)

1-3

-（n+1）×3ⁿ⁺¹
=

3

2

-（n-2）×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=

n-2

2

•3n+1-

3

4

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．