Question

如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．
（1）求梯形ABCD的周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x間的函數(shù)解析式，并求出它的定義域；
（2）求梯形ABCD的周長(zhǎng)y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作DE⊥AB于E，連接BD，根據(jù)相似關(guān)系求出AE，而CD=AB-2AE，從而求出梯形ABCD的周長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x間的函數(shù)解析式，根據(jù)AD＞0，AE＞0，CD＞0可求出定義域；
（2）利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上求出最值的知識(shí)可求出函數(shù)的最大值．
解答：解：（1）如圖，作DE⊥AB于E，連接BD．
因?yàn)锳B為直徑，所以∠ADB=90°．（1分）
在Rt△ADB與Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽R(shí)t△AED．（3分）
所以，即．
又AD=x，AB=4，所以．（5分）
所以，（6分）
于是（7分）
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以，
解得．（9分）
故所求的函數(shù)為．（10分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103104456713109068/SYS201311031044567131090018_DA/8.png">，（12分）
又，所以，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值10．（14分）
點(diǎn)評(píng)：射影定理的應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵，二次函數(shù)在解決實(shí)際問題中求解最值的常用的方法，屬于中檔題．