【題目】已知函數(shù).
(1)求在區(qū)間上的最大值;
(2)若過點存在3條直線與曲線相切,求的取值范圍;
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求,令,求出極值點,極值和區(qū)間端點的函數(shù)值,即求最大值;
(2)設(shè)出切點,寫出切線方程,把點的坐標代入切線方程,得.設(shè),則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同的零點”.求,判斷的單調(diào)性,即可求解.
(1)由得.
令,得或.
因為,
所以在區(qū)間上的最大值為.
(2)設(shè)過點的直線與曲線相切于點,
則,且切線斜率為,
所以切線方程為,
因此,
整理得.
設(shè),
則“過點存在3條直線與曲線相切”等價于“有3個不同的零點”.
.
當變化時,與的變化情況如下:
0 | 1 | ||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
所以,是的極大值,
是的極小值.
當,即時,
在區(qū)間和上分別至多有1個零點,
以至多有2個零點.
當,即時,
在區(qū)間和上分別至多有1個零點,
所以至多有2個零點.
當且,即時,
因為,
所以分別在區(qū)間和上恰有1個零點.
由于在區(qū)間和上單調(diào),
所以分別在區(qū)間和上恰有1個零點.
綜上可知,當過點存在3條直線與曲線相切時,的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系中,直線經(jīng)過點,傾斜角為,以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為曲線.
(Ⅰ)寫出直線的參數(shù)方程及曲線的普通方程;
(Ⅱ)求直線和曲線的兩個交點到點的距離的和與積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,點分別是的中點,點是的重心.
(1)證明:平面;
(2)若平面平面,,,,,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有六名同學(xué)參加演講比賽,編號分別為1,2,3,4,5,6,比賽結(jié)果設(shè)特等獎一名,,,,四名同學(xué)對于誰獲得特等獎進行預(yù)測.說:不是1號就是2號獲得特等獎;說:3號不可能獲得特等獎;說:4,5,6號不可能獲得特等獎;說:能獲得特等獎的是4,5,6號中的一個.公布的比賽結(jié)果表明,,,,中只有一個判斷正確.根據(jù)以上信息,獲得特等獎的是( )號同學(xué).
A.1B.2C.3D.4,5,6號中的一個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的短軸長為2,離心率為,,分別是橢圓的右頂點和下頂點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知是橢圓內(nèi)一點,直線與的斜率之積為,直線分別交橢圓于兩點,記,的面積分別為,.
①若兩點關(guān)于軸對稱,求直線的斜率;
②證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)國家號召,某校組織部分學(xué)生參與了“垃圾分類,從我做起”的知識問卷作答,并將學(xué)生的作答結(jié)果分為“合格”與“不合格”兩類與“問卷的結(jié)果”有關(guān)?
不合格 | 合格 | |
男生 | 14 | 16 |
女生 | 10 | 20 |
(1)是否有90%以上的把握認為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)?
(2)在成績合格的學(xué)生中,利用性別進行分層抽樣,共選取9人進行座談,再從這9人中隨機抽取5人發(fā)送獎品,記拿到獎品的男生人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.703 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定橢圓C:(),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C的離心率,點在C上.
(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;
(2)點P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個動點,過點P作直線,使得,與橢圓C都只有一個交點,且,分別交其“衛(wèi)星圓”于點M,N,證明:弦長為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體,點, , 分別是線段, 和上的動點,觀察直線與, 與.給出下列結(jié)論:
①對于任意給定的點,存在點,使得;
②對于任意給定的點,存在點,使得;
③對于任意給定的點,存在點,使得;
④對于任意給定的點,存在點,使得.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ).
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個口袋內(nèi)有個不同的紅球,個不同的白球,
(1)從中任取個球,紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種?
(2)若取一個紅球記分,取一個白球記分,從中任取個球,使總分不少于分的取法有多少種?
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