Question

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=

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時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值；
（Ⅱ）若對?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=

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代入函數(shù)解析式中確定出f（x）的解析式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極大值；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把求出的導(dǎo)函數(shù)代入到已知的不等式中，移項(xiàng)使不等式的右邊為0，左邊為一個(gè)二次函數(shù)，討論a，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=

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時(shí)，f（x）=

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x³+3x²-x+1，
∵f′（x）=7x²+6x-1=（7x-1）（x+1），
令f′（x）=0，得x₁=

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，x₂=-1，
且當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，

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）時(shí)，f′（x）＜0，
所以當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極大值，且f（-1）=

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．
（Ⅱ）∵?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，
即?x∈R不等式3ax²+6x-1≤4x恒成立，
∴?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
當(dāng)a≥0時(shí)，?x∈R，3ax²+2x-1≤0不恒成立，
當(dāng)a＜0時(shí)，?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
即△=4+12a≤0，解得a≤-

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．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)數(shù)，合理分類是關(guān)鍵．