Question

設(shè)cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，則cos（α+β）=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：首先，根據(jù)已知條件，得到sin（α-

β

2

）=

1-cos2(α- β 2 )

=

4 5

9

，cos（

α

2

-β）=

1-sin2( α 2 -β)

=

5

3

，然后，得到sin

α+β

2

=sin[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]=

22

27

，最后，利用二倍角的余弦公式，求解cos（α+β）的值．

解答： 解：∵cos（α-

β

2

）=-

1

9

＜0，
且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，
∴

π

2

＜α-

β

2

＜π，
∴sin（α-

β

2

）=

1-cos2(α- β 2 )

=

4 5

9

，
∵sin（

α

2

-β）=

2

3

，且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，
∴-

π

4

＜

α

2

-β＜

π

2

，
∴cos（

α

2

-β）=

1-sin2( α 2 -β)

=

5

3

，
∴sin

α+β

2

=sin[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]
=sin（α-

β

2

）cos（

α

2

-β）-cos（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）
=

4 5

9

×

5

3

-(-

1

9

)×

2

3

=

22

27

，
∵cos（α+β）=1-2sin²

α+β

2

=1-2×（

22

27

）²，
=-

239

729

．
故答案為：-

239

729

．

點評：本題重點考查了兩角和與差的三角公式，角的靈活拆分、角的靈活變換等知識，屬于重點題型，掌握這部分題型時，一定要注意待求的角和已知的角之間的關(guān)系，然后，選擇恰當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q公式進(jìn)行求解，屬于中檔題．