Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)T（t，m）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0
（1）設(shè)動點(diǎn)P滿足(

PF

+

PB

)(

PF

-

PB

)=13，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)x₁=2，x2=

1

3

，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)T在點(diǎn)P的軌跡上運(yùn)動，問直線MN是否經(jīng)過x軸上的一定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得F，B，再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（2）由x₁=2，x2=

1

3

，代入橢圓的方程可得y₁，y₂，進(jìn)而得到直線TM、TN的方程，聯(lián)立即可得出交點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）假設(shè)直線MN過定點(diǎn)，由T在點(diǎn)P的軌跡上，可得T（9，m），分別得出直線AT、BT的方程，與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，得出直線MN的方程即可．

解答： 解：（1）由橢圓

x2

9

+

y2

5

=1可得：a²=9，b²=5，c=

9-5

=2．
∴F（2，0），B（3，0）．
設(shè)P（x，y），則

PF

=（2-x，-y），

PB

=（3-x，-y）．
∵滿足(

PF

+

PB

)•(

PF

-

PB

)=13，
∴（5-2x，-2y）•（-1，0）=13，
∴2x-5=13，
化簡得x=9，
故P的軌跡方程為x=9
（2）由x1=2，

x 2 1

9

+

y 2 1

5

=1及y₁＞0得y1=

5

3

，則點(diǎn)M(2，

5

3

)，
從而直線AM的方程為y=

1

3

x+1；
同理可以求得直線BN的方程為y=

5

6

x-

5

2

聯(lián)立兩方程可解得x=7，y=

10

3

∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7，

10

3

)．
（3）假設(shè)直線MN過定點(diǎn)，由T在點(diǎn)P的軌跡上，T（9，m）
直線AT的方程為y=

m

12

(x+3)，直線BT的方程為y=

m

6

(x-3)
點(diǎn)M（x₁，y₁）滿足

y1= m 12 (x1+3) x 2 1 9 + y 2 1 5 =1

得

(x1-3)(x1+3)

9

=-

m2

122

•

(x1+3)2

5

，
又x₁≠3，解得x1=

240-3m2

80+m2

，從而得y1=

40m

80+m2

．
同理：x₂=

3m2-60

m2+20

，y₂=

-20m

m2+20

．
∴直線MN的方程：y+

20m

m2+20

=

10m

40-m2

(x-

3m2-60

m2+20

)，

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得出方程組、數(shù)量積運(yùn)算、直線過定點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了計(jì)算能力，屬于難題．