【題目】定義在R上的奇函數(shù)滿足,且在[0,1)上單調(diào)遞減,若方程在[0,1)上有實數(shù)根,則方程在區(qū)間[-1,7]上所有實根之和是
A. 12 B. 14 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】由f(2-x)=f(x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,
由f(x)是R上的奇函數(shù)知f(2-x)=-f(x-2),f(x-4)=-f(4-x)
在f(2-x)=f(x)中,以x-2代x得:
f(2-(x-2))=f(x-2)即f(4-x)=f(x-2),
所以f(x)=f(2-x)=-f(4-x)=f(x-4)
即f(x+4)=f(x),
所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).
考慮f(x)的一個周期,例如[-1,3],
由f(x)在[0,1)上是減函數(shù)知f(x)在(1,2]上是增函數(shù),
f(x)在(-1,0]上是減函數(shù),f(x)在[2,3)上是增函數(shù).
對于奇函數(shù)f(x)有f(0)=0,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,
故當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)<f(0)=0,當(dāng)x∈(1,2)時,f(x)<f(2)=0,
當(dāng)x∈(-1,0)時,f(x)>f(0)=0,當(dāng)x∈(2,3)時,f(x)>f(2)=0,
方程f(x)=-1在[0,1)上有實數(shù)根,
則這實數(shù)根是唯一的,因為f(x)在(0,1)上是單調(diào)函數(shù),
則由于f(2-x)=f(x),故方程f(x)=-1在(1,2)上有唯一實數(shù).
在(-1,0)和(2,3)上f(x)>0,
則方程f(x)=-1在(-1,0)和(2,3)上沒有實數(shù)根.
從而方程f(x)=-1在一個周期內(nèi)有且僅有兩個實數(shù)根.
當(dāng)x∈[-1,3],方程f(x)=-1的兩實數(shù)根之和為x+2-x=2,
當(dāng)x∈[-1,7],方程f(x)=-1的所有四個實數(shù)根之和為x+2-x+4+x+4+2-x=2+8+2=12.
故答案為A.
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【題目】若無窮數(shù)列滿足:只要,必有,則稱具有性質(zhì).
(1)若具有性質(zhì),且, ,求;
(2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, , , 判斷是否具有性質(zhì),并說明理由;
(3)設(shè)是無窮數(shù)列,已知.求證:“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.
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【題目】已知橢圓:的左、右有頂點分別是、,上頂點是,圓:的圓心到直線的距離是,且橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)平行于軸的動直線與橢圓和圓在第一象限內(nèi)的交點分別為、,直線、與軸的交點記為,.試判斷是否為定值,若是,證明你的結(jié)論.若不是,舉反例說明.
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【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),若對于,使成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱臺中, , 分別是, 的中點, 平面, 是等邊三角形, , ,.
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的正弦值.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為(限定).
(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并求與交點的極坐標(biāo);
(2)射線與曲線與分別交于點(異于原點),求的取值范圍.
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【題目】如圖,直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠ACB=90°,棱AA1=2,如圖,以C為原點,分別以CA,CB,CC1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)求平面A1B1C的法向量;
(2)求直線AC與平面A1B1C夾角的正弦值.
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