【題目】各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且滿足,,.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足,.
(1)求數(shù)列、的通項公式;
(2)若,數(shù)列的前項和.
①求;
②若對任意,,均有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1),;(2)①;②.
【解析】
(1)令可求得,再令,由得,兩式作差并結(jié)合已知條件得出,結(jié)合可知數(shù)列是等差數(shù)列,確定數(shù)列的首項和公差,可求得,并根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的首項和公比,由此可求得;
(2)①求得,利用錯位相減法可求得;
②由題意可得對任意的且恒成立,由參變量分離法得,構(gòu)造數(shù)列,利用定義判斷數(shù)列的單調(diào)性,求得數(shù)列的最大項,由此可得出實數(shù)的取值范圍.
(1)對任意的,.
當時,,即,解得;
當時,由得,
兩式作差得,即,
又因為數(shù)列各項均為正數(shù),則,所以,,
又,所以,數(shù)列是等差數(shù)列,且首項為,公差為,
.
設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,,,.
;
(2)①,,
,
上述兩式作差得,
因此,;
②由題意可知對任意的且恒成立,
,即恒成立,
設(shè),,
當時,,此時數(shù)列單調(diào)遞增,即;
當時,,此時數(shù)列單調(diào)遞減,即.
所以,數(shù)列中最大項為,.
因此,實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機抽取了七位醫(yī)護人員的關(guān)愛患者考核分數(shù)(患者考核: 分制),用相關(guān)的特征量表示;醫(yī)護專業(yè)知識考核分數(shù)(試卷考試: 分制),用相關(guān)的特征量表示,數(shù)據(jù)如下表:
特征量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
98 | 88 | 96 | 91 | 90 | 92 | 96 | |
9.9 | 8.6 | 9.5 | 9.0 | 9.1 | 9.2 | 9.8 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程(計算結(jié)果精確到);
(2)利用(1)中的線性回歸方程,分析醫(yī)護專業(yè)考核分數(shù)的變化對關(guān)愛患者考核分數(shù)的影響,并估計某醫(yī)護人員的醫(yī)護專業(yè)知識考核分數(shù)為分時,他的關(guān)愛患者考核分數(shù)(精確到);
(3)現(xiàn)要從醫(yī)護專業(yè)知識考核分數(shù)分以下的醫(yī)護人員中選派人參加組建的“九寨溝災(zāi)后醫(yī)護小分隊”培訓(xùn),求這兩人中至少有一人考核分數(shù)在分以下的概率.
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮,這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快,二月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為,三月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為,鳳眼蓮覆蓋面積 (單位:)與月份(單位:月)的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇.
(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式;
(2)求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積倍以上的最小月份.
(參考數(shù)據(jù),)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為鼓勵家;,與某手機通訊商合作,為教師辦理流量套餐.為了解該校教師手機流量使用情況,通過抽樣,得到位教師近年每人手機月平均使用流量(單位:)的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如下:
若將每位教師的手機月平均使用流量分別視為其手機月使用流量,并將頻率為概率,回答以下問題.
(Ⅰ) 從該校教師中隨機抽取人,求這人中至多有人月使用流量不超過 的概率;
(Ⅱ) 現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐,詳情如下:
套餐名稱 | 月套餐費(單位:元) | 月套餐流量(單位:) |
這三款套餐都有如下附加條款:套餐費月初一次性收取,手機使用一旦超出套餐流量,系統(tǒng)就自動幫用戶充值 流量,資費元;如果又超出充值流量,系統(tǒng)就再次自動幫用戶充值 流量,資費元/次,依次類推,如果當月流量有剩余,系統(tǒng)將自動清零,無法轉(zhuǎn)入次月使用.
學(xué)校欲訂購其中一款流量套餐,為教師支付月套餐費,并承擔系統(tǒng)自動充值的流量資費的,其余部分由教師個人承擔,問學(xué)校訂購哪一款套餐最經(jīng)濟?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在古代,直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”,較長的直角邊稱為“股”,斜邊稱為“弦”.三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽用“弦圖”( 如圖) 證明了勾股定理,證明方法敘述為:“按弦圖,又可以勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差自相乘為中黃實,加差實,亦成弦實.”這里的“實”可以理解為面積.這個證明過程體現(xiàn)的是這樣一個等量關(guān)系:“兩條直角邊的乘積是兩個全等直角三角形的面積的和(朱實二 ),4個全等的直角三角形的面積的和(朱實四) 加上中間小正方形的面積(黃實) 等于大正方形的面積(弦實)”. 若弦圖中“弦實”為16,“朱實一”為,現(xiàn)隨機向弦圖內(nèi)投入一粒黃豆(大小忽略不計),則其落入小正方形內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色,要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色,則不同的著色方法共有( 。
A. 144種 B. 72種 C. 64種 D. 84種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為,且函數(shù)()當且僅當在處取得極值,其中為的導(dǎo)函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線頂點在原點,焦點在x軸上,且過點(4,4),焦點為F.
(1)求拋物線的焦點坐標和標準方程;
(2)P是拋物線上一動點,M是PF的中點,求M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況,隨機選取該月中的5天,將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論:
①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫;
②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫;
③甲地該月14時的平均氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差;
④甲地該月14時的平均氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差.
其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的標號為( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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