Question

【題目】各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，.

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和.

①求；

②若對任意，，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②.

【解析】

（1）令可求得，再令，由得，兩式作差并結(jié)合已知條件得出，結(jié)合可知數(shù)列是等差數(shù)列，確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得，并根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由此可求得；

（2）①求得，利用錯位相減法可求得；

②由題意可得對任意的且恒成立，由參變量分離法得，構(gòu)造數(shù)列，利用定義判斷數(shù)列的單調(diào)性，求得數(shù)列的最大項(xiàng)，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）對任意的，.

當(dāng)時(shí)，，即，解得；

當(dāng)時(shí)，由得，

兩式作差得，即，

又因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，則，所以，，

又，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，

.

設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，，.

；

（2）①，，

，

上述兩式作差得，

因此，；

②由題意可知對任意的且恒成立，

，即恒成立，

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，即；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減，即.

所以，數(shù)列中最大項(xiàng)為，.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.