Question

【題目】水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān)，某工廠深人貫徹科學(xué)發(fā)展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過(guò)A系統(tǒng)處理，處理后的污水（A級(jí)水）達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)稱達(dá)標(biāo)）的概率為p（0<p<1）.經(jīng)化驗(yàn)檢測(cè)，若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放；若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)行B系統(tǒng)處理后直接排放.

某廠現(xiàn)有4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水量的A級(jí)水池，分別取樣、檢測(cè)，多個(gè)污水樣本檢測(cè)時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo)，則混合樣本的化驗(yàn)結(jié)果必不達(dá)標(biāo)，若混合樣本不達(dá)標(biāo)，則該組中各個(gè)樣本必須再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本達(dá)標(biāo)，則原水池的污水直接排放

現(xiàn)有以下四種方案：

方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；

方案二：平均分成兩組化驗(yàn)；方案三；三個(gè)樣本混在一起化驗(yàn)，剩下的一個(gè)單獨(dú)化驗(yàn)；

方案四：四個(gè)樣本混在一起化驗(yàn).

化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越"優(yōu)".

（1）若，求2個(gè)A級(jí)水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率；

（2）①若，現(xiàn)有4個(gè)A級(jí)水樣本需要化驗(yàn)，請(qǐng)問(wèn)：方案一、二、四中哪個(gè)最“優(yōu)"？②若“方案三”比“方案四"更“優(yōu)”，求p的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①方案四最優(yōu)；②

【解析】

（1）計(jì)算2個(gè)A級(jí)混合樣本達(dá)標(biāo)的概率，再根據(jù)對(duì)立事件原理求得它們不達(dá)標(biāo)的概率；

（2）①計(jì)算方案一：逐個(gè)檢測(cè)，檢測(cè)次數(shù)為ξ＝4；方案二：檢測(cè)次數(shù)為ξ2，則ξ2可能取值為2，4，6，求概率分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；方案四：混在一起檢測(cè)，檢測(cè)次數(shù)為ξ4，則ξ4可取值為1，5，求概率分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；比較得出選擇方案幾最“優(yōu)”；

②方案三：化驗(yàn)次數(shù)為η3，則η3可取值為2，5，求概率分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；

方案四：化驗(yàn)次數(shù)為η4，則η4可取值為1，5，求概率分布，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；

由題意列不等式E（η3）＜E（η4），求出p的取值范圍．

(1)該混合樣本達(dá)標(biāo)的概率是，所以根據(jù)對(duì)立事件原理，不達(dá)標(biāo)的概率為.

(2)①方案一：逐個(gè)檢測(cè)，檢測(cè)次數(shù)為4.

方案二：由(1)知，每組兩個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，若達(dá)標(biāo)則檢測(cè)次數(shù)為1，概率為；若不達(dá)標(biāo)則檢測(cè)次數(shù)為3，概率為.故方案二的檢測(cè)次數(shù)記為ξ2，ξ2的可能取值為2,4,6.

其分布列如下，

可求得方案二的期望為

方案四：混在一起檢測(cè)，記檢測(cè)次數(shù)為ξ4，ξ4可取1,5.

其分布列如下，

可求得方案四的期望為.

比較可得，故選擇方案四最“優(yōu)”.

②方案三：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為，可取2,5.

；

方案四：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為，可取

；

由題意得.

故當(dāng)時(shí)，方案三比方案四更“優(yōu)”.