【題目】如圖,已知BD為圓錐AO底面的直徑,若,C是圓錐底面所在平面內(nèi)一點,,且AC與圓錐底面所成角的正弦值為.

(1)求證:平面平面ACD;

(2)求二面角的平面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)

【解析】

1)首先找到AC與圓錐底面所成角,求出,可得,結(jié)合圓錐的性質(zhì),可證明平面AOC,進而可得平面平面ACD

2)解法一:建立空間直角坐標系,求出平面ACD的一個法向量和平面ABD的一個法向量,通過夾角公式,可求得兩法向量的夾角,進而得到二面角的平面角的余弦值;解法二:過點O交于F.過FDCH,連接HO,

為二面角的平面角,通過三角形的邊角關系求出的余弦.

(1)證明:由及圓錐的性質(zhì),

所以為等邊三角形,O所在平面,

所以,AC與底面所成角,

AC與底面所成的角的正弦值為,

中,,,

,,

中,,

所以,

圓錐的性質(zhì)可知:O所在平面,

因為O所在平面,所以,

AO平面AOC,所以平面AOC,

平面ACD

故平面平面ACD;

(2)解法一:在圓O所在平面過點OBD的垂線交圓O于點E,以O為坐標原點,OEx軸,ODy軸,OAz軸,建立如圖空間直角坐標系,

由題可知,,,

,,

所以,

設平面ACD的一個法向量為,

因為,

所以

,則,

平面ABD的一個法向量為

所以,

二面角的平面角的余弦值為.

解法二:過點O交于F.過FDCH,連接HO,

所以為二面角的平面角,

中,因為,,

所以,

因為

所以,即

CHD的中點,

所以,

中,,

所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關,某工廠深人貫徹科學發(fā)展觀,努力提高污水收集處理水平,其污水處理程序如下:原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理,處理后的污水(A級水)達到環(huán)保標準(簡稱達標)的概率為p0<p<1.經(jīng)化驗檢測,若確認達標便可直接排放;若不達標則必須進行B系統(tǒng)處理后直接排放.

某廠現(xiàn)有4個標準水量的A級水池,分別取樣、檢測,多個污水樣本檢測時,既可以逐個化驗,也可以將若干個樣本混合在一起化驗,混合樣本中只要有樣本不達標,則混合樣本的化驗結(jié)果必不達標,若混合樣本不達標,則該組中各個樣本必須再逐個化驗;若混合樣本達標,則原水池的污水直接排放

現(xiàn)有以下四種方案:

方案一:逐個化驗;

方案二:平均分成兩組化驗;方案三;三個樣本混在一起化驗,剩下的一個單獨化驗;

方案四:四個樣本混在一起化驗.

化驗次數(shù)的期望值越小,則方案越"優(yōu)".

1)若,求2A級水樣本混合化驗結(jié)果不達標的概率;

2)①若,現(xiàn)有4A級水樣本需要化驗,請問:方案一、二、四中哪個最優(yōu)"?②若方案三方案四"優(yōu),求p的取值范圍.

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【題目】某公司統(tǒng)計了20102018年期間公司年收的增加值(萬元)以及相應的年增長率,所得數(shù)據(jù)如下所示:

年份

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

代碼

1

2

3

4

5

6

7

8

9

增加值

1555

2100

2220

2740

3135

3563

4041

5494.4

6475

增長率

1)通過散點圖可知,可用線性回歸模型擬合20102014的關系;

①求20102014年這5年期間公司年利潤的增加值的平均數(shù);

②求關于的線性回歸方程

2)從哪年開始連續(xù)三年公司利潤增加值的方差最大?(不需要說明理由)

附:參考公式:回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.

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【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1) 求函數(shù)的解析式;

(2) 如何由函數(shù)的通過適當圖象的變換得到函數(shù)的圖象, 寫出變換過程;

(3) 若,求的值.

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【題目】如圖,在梯形中,,,四邊形為矩形,平面平面,.

(1)證明:平面;

(2)設點在線段上運動,平面與平面所成銳二面角為,求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若函數(shù)在點處的切線方程為,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)①當,時,若對于任意,都有恒成立,求實數(shù)的最小值;②當時,設函數(shù),是否存在實數(shù),使得?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.

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【題目】某金店用一桿不準確的天平(兩邊臂不等長)稱黃金,某顧客要購買黃金,售貨員先將的砝碼放在左盤,將黃金放于右盤使之平衡后給顧客;然后又將的砝碼放入右盤,將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客,則顧客實際所得黃金( 。

A. 大于B. 小于C. 大于等于D. 小于等于

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【題目】已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

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2)用表示中較大者,記函數(shù).若函數(shù)上恰有2個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】國家學生體質(zhì)健康測試專家組到某學校進行測試抽查,在高三年級隨機抽取100名男生參加實心球投擲測試,測得實心球投擲距離(均在5至15米之內(nèi))的頻數(shù)分布表如下(單位:米):

分組

頻數(shù)

9

23

40

22

6

規(guī)定:實心球投擲距離在之內(nèi)時,測試成績?yōu)椤傲己谩,以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均值,將頻率視為概率.

(1)求,并估算該校高三年級男生實心球投擲測試成績?yōu)椤傲己谩钡陌俜直?

(2)現(xiàn)在從實心球投擲距離在,之內(nèi)的男生中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機抽取3人參加提高體能的訓練,求:在被抽取的3人中恰有兩人的實心球投擲距離在內(nèi)的概率.

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