Question

【題目】已知函數(shù).

(1)證明：當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

(2)當(dāng)，函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，證得結(jié)論成立.（2）先求得得到解析式和導(dǎo)函數(shù).根據(jù)（1）的結(jié)論，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)將轉(zhuǎn)化為的形式，進(jìn)而求得最小值的表達(dá)式，利用構(gòu)造函數(shù)法和導(dǎo)數(shù)作為工具，求得最小值的取值范圍，進(jìn)而求得的取值范圍.

（1）證明：因?yàn)?/span>，所以.

令，解得；令，解得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故在上沒(méi)有零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

（2）解：因?yàn)?/span>，所以.

由（1）知當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，，所以存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以

，又，即，代入上式得，

，，設(shè)函數(shù)，，則在上單調(diào)遞減，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故對(duì)任意，存在唯一的，，使得，所以的值域是，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值的值域?yàn)?/span>