Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x₁，x₂∈R，恒有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若x＞0時(shí)，f（x）＜0，證明：f（x）是R上的減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)，證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
∵x₁＞x₂，
∴x₁-x₂＞0，
則f（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用條件證明函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．