Question

在數(shù)列{a_n}中，已知S_n=（n+1）•（a_n-n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁及a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{an•3n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出{a_n}是一個以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，由此能求出a₁=2，a_n=2n．
（Ⅱ）由an•3n=2n•3n，利用錯位相關(guān)汪云彩求出數(shù)列{an•3n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=（n+1）•（a_n-n）（n∈N^*），
∴a₁=2（a₁-1），解得a₁=2，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n+1）•（a_n-n）-n•（a_n-1-n+1）
∴a_n-a_n-1=2，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴{a_n}是一個以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴a₁=2，a_n=2n．（6分）
（Ⅱ）∵an•3n=2n•3n，數(shù)列{an•3n}的前n項(xiàng)和T_n，
∴Tn=2•31+4•32+6•33+…+2n•3n，（8分）
3Tn=2•32+4•33+6•34+…+2n•3n+1，（9分）
兩式相減，得：
-2T_n=2•3+2•3²+2•3³+2•3⁴+…+2•3ⁿ-2n•3ⁿ⁺¹
=

2•3(1-3n)

1-3

-2n•3^n-1
=（1-2n）•3^n-1-3，
∴T_n=（n-

1

2

）•3ⁿ⁺¹+

3

2

．（12分）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．