（2013•成都二模）若不等式m≤
1
2x
+
2
1-x
當x∈（0，l）時恒成立，則實數(shù)m的最大值為（　　）
分析：設f（x）=
1
2x
+
2
1-x
，根據(jù)形式將其化為f（x）=
5
2
+
1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x
．利用基本不等式求最值，可得當且僅當x=
1
3
時
1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x
的最小值為2，得到f（x）的最小值為f（
1
3
）=
9
2
，再由題中不等式恒成立可知m≤（
1
2x
+
2
1-x
）min
由此可得實數(shù)m的最大值．
解答：解：設f（x）=
1
2x
+
2
1-x
=
1
2
x
+
2
1-x
（0＜x＜1）
而
1
2
x
+
2
1-x
=[x+（1-x）]（
1
2
x
+
2
1-x
）=
5
2
+
1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x

∵x∈（0，l），得x＞0且1-x＞0
∴
1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x
≥2
1
2
(1-x)
x
×
2x
1-x
=2，
當且僅當
1
2
(1-x)
x
=
2x
1-x
=1，即x=
1
3
時
1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x
的最小值為2
∴f（x）=
1
2x
+
2
1-x
的最小值為f（
1
3
）=
9
2

而不等式m≤
1
2x
+
2
1-x
當x∈（0，l）時恒成立，即m≤（
1
2x
+
2
1-x
）min
因此，可得實數(shù)m的最大值為
9
2

故選：B
點評：本題給出關于x的不等式恒成立，求參數(shù)m的取值范圍．著重考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值和不等式恒成立問題的處理等知識，屬于中檔題．
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1
x
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