Question

函數(shù)f（x）=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：當(dāng)x＜0時(shí)，解方程x²+2x=0，得函數(shù)的零點(diǎn)為x=-2；當(dāng)x≥0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得f（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得f（x）在[0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)．由此可得本題的答案．
解答：∵f（x）=
∴①當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=0即x²+2x=0，解之得x=-2（舍去0）
②當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=0即e^x-x-2=0，
∵f'（x）=e^x-1，可得當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)f'（x）≥0
∴f（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)
又∵f（0）=-1＜0，f（2）=e²-4＞0
∴f（x）在[0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)
綜上所述，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)有且只有兩個(gè)
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出分段函數(shù)，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．著重考查了一元二次方程的解法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)，屬于中檔題．