Question

【題目】已知拋物線的頂點在坐標原點，過拋物線的焦點的直線與該拋物線交于兩點， 面積的最小值為2．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）試問是否存在定點，過點的直線與拋物線交于兩點，當三點不共線時，使得以為直徑的圓必過點．若存在，求出所有符合條件的點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，通過利用函數(shù)的思想研究面積的最小值得到關(guān)于P方程，解方程即可. (2)第（2）問，根據(jù)以為直徑的圓必過點得到0，

化簡得到m和k的關(guān)系，看是否滿足題意.

試題解析：

（1）設(shè)直線的方程為，設(shè)，

聯(lián)立

面積的最小即最小，

所以當m=0時， 最小為2p,△MON面積的最小，

所以

（2）假設(shè)存在這樣的定點，當不垂直于軸時，可設(shè)直線為，顯然.

聯(lián)立可得，由于p=2，所以點 .

設(shè)，則， ，

化簡可得，即

當時， ，恒過定點，即為點A，不合題意；

當時， ，恒過定點，此時存在定點滿足條件.

容易驗證當直線過點且垂直于軸時， ，綜上，存在唯一定點滿足條件.