Question

若函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上存在不同的兩點A、B，使得曲線y=f（x）在點A、B處的切線互相垂直，則2x₁-x₂的最大值是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：由題意及導數(shù)的幾何意義得出f′（x₁）•f′（x₂）=-1，化簡得(x1+1)+(x2+1)=-

1

4

，然后將2x₁-x₂寫成2（x₁+1）-（x₂+1）-1，再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解．

解答： 由導數(shù)的幾何意義知，點A處切線的斜率為f′（x₁），點B處的切線的斜率為f′（x₂），
函數(shù)f（x）的圖象在點A、B處的切線互相垂直時，
有f′（x₁）•f′（x₂）=-1，
即（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．
從而x1+1=

-1

4(x2+1)

．
又點A、B必在函數(shù)f（x）=x²+2x圖象的對稱軸x=-

2

2×1

=-1的兩邊，
顯然x₁＜-1＜x₂，此時x₁+1＜0，x₂+1＞0．
故2x₁-x₂=2（x₁+1）-（x₂+1）-1
=-[-2（x₁+1）+（x₂+1）]-1
≤-

2 4(x2+1) •(x2+1)

-1
=-

2 +2

2

從而2x₁-x₂的最大值為-

2 +2

2

．

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義及不等式的性質(zhì)，將2x₁-x₂寫成2（x₁+1）-（x₂+1）-1，再利用(x1+1)+(x2+1)=-

1

4

是解決本題的關鍵．