【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）對任意的，恒成立，請求出的取值范圍．

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）分、兩種情況討論的符號后可得的單調(diào)性.

（2）原不等式等價(jià)于，令，其導(dǎo)數(shù)為，求得，虛設(shè)其在上的零點(diǎn)后，可證明恒成立，從而得到在上為增函數(shù)，求得的值域后可得的取值范圍.

解：（1），

若，則，所以函數(shù)在上遞增；

若，方程的判別式為，

所以方程有兩根分別為，，

所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上遞減；在上遞增.

（2）不等式，對任意的恒成立，

即對任意的恒成立．

令，則，

令，則，

易知在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，，且的圖象在上不間斷，

所以存在唯一的，使得，即，則．

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

則在處取得最小值，

且最小值為，

所以，即在上單調(diào)遞增，所以.

所以．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在處按方向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在處按某方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在處成功攔截機(jī)器人甲．若點(diǎn)在矩形區(qū)域內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗．已知米，為中點(diǎn)，機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線運(yùn)動方式行進(jìn)，記與的夾角為．

（1）若，足夠長，則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功？（結(jié)果精確到）；

（2）如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域的寬的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某教師為了分析所任教班級某次考試的成績，將全班同學(xué)的成績作成統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：

分組

頻數(shù)

頻率

[50，60)

3

0.06

[60，70)

m

0.10

[70，80)

13

n

[80，90)

p

q

[90，100]

9

0.18

總計(jì)

t

1

(1)求表中t，q及圖中a的值；

(2)該教師從這次考試成績低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行談話，設(shè)X表示所抽取學(xué)生中成績低于60分的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)報(bào)道，全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點(diǎn)，一時(shí)間“英語考試該如何改革”引起廣泛關(guān)注，為了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師、家長在內(nèi)的社會人士對高考英語改革的看法，某媒體在該地區(qū)選擇了3600人進(jìn)行調(diào)查，就“是否取消英語聽力”問題進(jìn)行了問卷調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

態(tài)度

調(diào)查人群

應(yīng)該取消

應(yīng)該保留

無所謂

在校學(xué)生

2100人

120人

人

社會人士

600人

人

人

（1）已知在全體樣本中隨機(jī)抽取人，抽到持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為，現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取人進(jìn)行問卷訪談，問應(yīng)在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？

（2）在持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取人，再平均分成兩組進(jìn)行深入交流，求第一組中在校學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．

（1）若曲線在處切線的斜率為，求此切線方程；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；

(2)求證：平面平面；

(3)求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我們把定義在上，且滿足（其中常數(shù)、滿足，，）的函數(shù)叫做似周期函數(shù).

（1）若某個(gè)似周期函數(shù)滿足且圖象關(guān)于直線對稱，求證：函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）當(dāng)，時(shí)，某個(gè)似周期函數(shù)在時(shí)的解析式為，求函數(shù)，，的解析式；

（3）對于（2）中的函數(shù)，若對任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于數(shù)列，若對任意的，也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列為“數(shù)列”，已知數(shù)列滿足：對任意的，均有，其中表示數(shù)列的前項(xiàng)和.

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，，且，求的所有可能值；

（3）若對任意的，也是數(shù)列中的項(xiàng)，求證：數(shù)列為“數(shù)列”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某烘焙店加工一個(gè)成本為60元的蛋糕，然后以每個(gè)120元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的這種蛋糕作餐廚垃圾處理.

（1）若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕，，求當(dāng)天的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：個(gè)，）的函數(shù)解析式；

（2）烘焙店記錄了100天這種蛋糕的日需求量（單位：個(gè)），整理得下表：

日需求量

14

15

16

17

18

19

20

頻數(shù)

10

20

16

16

15

13

10

①若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕，表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望及方差；

②若烘焙店一天加工16個(gè)或17個(gè)這種蛋糕，僅從獲得利潤大的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)加工16個(gè)還是17個(gè)？請說明理由.

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