Question

【題目】設(shè)橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，且橢圓C與圓有公共點(diǎn)．

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為，求橢圓C的方程；

（3）對(duì)（2）中的橢圓C，直線l：與C交于不同的兩點(diǎn)M、N，若線段MN的垂直平分線恒過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

(1)根據(jù)橢圓C與圓有公共點(diǎn),可轉(zhuǎn)換為聯(lián)立方程有解即可.

(2)設(shè)橢圓上的點(diǎn),再求出到焦點(diǎn)的距離,分析取最短距離時(shí)的情況,再列式求解橢圓中基本量的關(guān)系即可.

(3)聯(lián)立直線與橢圓的方程,求出MN的垂直平分線,代入即可得的關(guān)系,再根據(jù)判別式與的關(guān)系列出不等式進(jìn)行求解即可.

(1)由已知,,所以方程 有實(shí)數(shù)解,從而.

故,所以,故a的取值范圍是.

(2)設(shè)橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為,

則

因?yàn)?/span> ,故,

因?yàn)?/span>.所以當(dāng)時(shí),

故 ,故橢圓方程為

(3)由

因?yàn)橹本�與橢圓交于不同兩點(diǎn),所以,即.

設(shè),則 ,故線段的中點(diǎn).
又線段的垂直平分線橫過(guò)點(diǎn),所以,即.

故.又,故,解得,

又,故

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.