【題目】設函數(shù),其中為正實數(shù).
(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點,討論函數(shù)的單調性;
(Ⅱ)若在上無最小值,且在上是單調增函數(shù),求的取值范圍,并由此判斷曲線與曲線在交點個數(shù).
【答案】(Ⅰ)函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;
(Ⅱ)的取值范圍為,曲線與曲線在交點個數(shù)為0.
【解析】
試題(Ⅰ)由得 ,而,所以函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(Ⅱ)求出的導函數(shù),討論的范圍,由條件得時;由的導函數(shù)在上恒成立,即 ,所以的取值范圍為;此時即,令,由函數(shù)單調性知的極小值為,故兩曲線沒有公共點.
試題解析:(Ⅰ)由得
的定義域為:
函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為
(Ⅱ)由
若則在上有最小值
當時,在單調遞增無最小值
∵在上是單調增函數(shù),∴在上恒成立
∴
綜上所述的取值范圍為
此時即,令,
則在單減,在單增,
極小值為.故兩曲線沒有公共點
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【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,當點E在B1D1(與B1,D1不重合)上運動時,總有:
①AE∥BC1; ②平面AA1E⊥平面BB1D1D;
③AE∥平面BC1D; ④A1C⊥AE.
以上四個推斷中正確的是( )
A.①②B.①④C.②④D.③④
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調性并指出相應單調區(qū)間;
(2)若,設是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為菱形,且,平面ABCD,,且,.
Ⅰ求證:平面ACF;
Ⅱ求直線AE與平面ACF所成角的正弦值.
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【題目】為推動更多人閱讀,聯(lián)合國教科文組織確定每年的月日為“世界讀書日”.設立目的是希望居住在世界各地的人,無論你是年老還是年輕,無論你是貧窮還是富裕,都能享受閱讀的樂趣,都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的思想大師們,都能保護知識產(chǎn)權.為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式,某校興趣小組在全市隨機調查了名居民,經(jīng)統(tǒng)計這人中通過電子閱讀與紙質閱讀的人數(shù)之比為,將這人按年齡分組,其中統(tǒng)計通過電子閱讀的居民得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求的值及通過電子閱讀的居民的平均年齡;
(2)把年齡在第組的居民稱為青少年組,年齡在第組的居民稱為中老年組,若選出的人中通過紙質閱讀的中老年有人,請完成上面列聯(lián)表,則是否有的把握認為閱讀方式與年齡有關?
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【題目】如圖,在多面體中,平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,,.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)線段上是否存在點,使得直線平面?若存在,求的值:若不存在,請說明理由.
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【題目】已知服從正態(tài)分布的隨機變量在區(qū)間,,內(nèi)取值的概率分別為0.6826,0.9544,0.9974.若某種袋裝大米的質量(單位:)服從正態(tài)分布,任意選一袋這種大米,質量在的概率為_.
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點.
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